数学のことを考えると眠くなる

「2のn乗はいつも自然数になるとは限らない」
これは正しいですか?

これが正しくないことを証明できないことに気づかされたとき、ガーンとヤられる。

この記事は無限桁の自然数 - Log of ROYGBからリンクされていたので、ふと読んでみる気になったのだが、今引用した箇所で少し首を傾げることになった。
「これ」というのは「2のn乗はいつも自然数になるとは限らない」を指しているのだと思うが、もしそうなら、これが正しくないということ、すなわち2のn乗はいつも自然数になるということは、ほぼ自明といってもいいんじゃないかと思った。もちろん「n」が自然数を表しているというのが大前提なのだけど。
まず2の0乗は1、次に2の1乗は2、2の2乗は2×2だから4、2の3乗は4×2で8、2の4乗は8×2で16……というふうに、順番にひとつずつ（？）2をかけていけばいいわけで、この操作を何回繰り返しても自然数以外の数が出てくることはないだろう。自然数に2をかけたら必ず自然数になるのだから。
……と素直にそう思ったのだが、それが証明できないとはどういうことだろう？　何か見落としでもあっただろうか？　たとえば、2のn乗ではあるが2にひとつずつ順番に2をかけていくという操作では得られない数がある、とか。または、自然数に2をかけたら必ず自然数になるとは証明できないのだ、とか。
これはちょっと気合いを入れて考えてみなければ……と思っていたら急に眠気に襲われて、気がついたら夜の8時を回っていた。今日は朝からパン1個しか食べていないので無性におなかがすいた。
それはともかく、目が覚めてからあちこち巡回していると、2の自然数乗は自然数か? - 186::Diaryが目にとまった。あ、なるほど。
すっきりしたので、今から夜食をとることにする。

追記

大盛りのカレーライスを食べて満腹したら、また眠たくなってきた。
それはともかく、こんな記事を発見。コメント欄で紹介されているNon-standard arithmetic - Wikipedia, the free encyclopediaは日本語ではないので読めないが、そのうち誰かが翻訳してくれることを期待したい。