腕白小僧はなぜ「うでがしろい」のか？

「わんぱく」を漢字で書けば「腕白」となる。素直に読めば「うでがしろい」ということだ。でも、「わんぱく」と「うでがしろい」とでは意味が全然違う。ちょっと粗暴なくらいの元気たっぷりな子供は夏の日差しをものともせずにランニング姿で野山を駆け回り腕は真っ黒に日焼けしている、というイメージがある。
そこで考えてみた仮説が次の3つ。

「わんぱく」を「腕白」と書くのはあて字であり、漢字の意味は関係ない。
「腕白」は「うでがしろい」という意味ではなく、別の意味をもつ。
うでがしろいということが腕白の象徴となる理由がある／あった。

たとえば、2の場合だと、こんなのが考えられる。漢字の「白」は「しろ」という色をあらわす以外の用法がある。たとえば「告白」「白状」「科白」など。これらに共通するのは、「しゃべる，ものをいう」という意味だ。よって、「腕白」とは「うでにものをいわせる」という意味となる。
これは単なる思いつき。正解はまだ調べていない。たぶん、辞書をひけばすぐにわかることだろうが、すぐに答えを知るのはもったいないので、ほかにももっともらしいストーリーがないかどうか考えてみたいと思っている。